Chọn C

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) và M( x 0 ; y 0 )

Bước 1: Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho của đồ thị hàm số y = f(x); ( ∆ ) đi qua M( x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k.

Bước 2: ( ∆ ) có dạng 

Để ( ∆ ) tiếp xúc với đồ thị y = f(x) thì hệ 

Bước 3: Giải hệ bằng phương pháp thế, số nghiệm của hệ là số tiếp tuyến ( ∆ ) tìm được.

Cách giải:

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến ( ∆ ) với đồ thị (C) đi qua A(1;-6)

=>( ∆ ) có dạng: y = k(x-1) - 6

Để ( ∆ )  tiếp xúc với (C) thì  

Vậy có 1 pttt đi qua A(1;-6).

y' = 3 - 12x

Đường thẳng (d) có hệ số góc là k đi qua M(1;3) y=k(x-1)+3 .

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thì hàm số khi hệ phương trình sau có nghiệm

Với x = 0 thì k = 3

Do đó có tối đa hai tiếp tuyến đi qua điểm M(1;3).

Chọn B

Goi \(B\left(x_0;y_0\right)\) la tiep diem \(\Rightarrow x_0=1\Rightarrow y_0=3m\)

\(y'=3x^2-4x+3m\Rightarrow y'\left(1\right)=3-4+3m=3m-1\)

\(\Rightarrow pttt:y=\left(3m-1\right)\left(x-1\right)+3m\)

\(A\left(1;3\right)\in pttt\Rightarrow\left(3m-1\right)\left(1-1\right)+3m=3\Leftrightarrow3m=3\Leftrightarrow m=1\)

\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\)

Gọi đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x+1\right)+4\)

d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x-1}{x+1}=k\left(x+1\right)+4\\\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}=k\end{matrix}\right.\) có nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}+4\)

\(\Leftrightarrow2x-1=3+4\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x=-4\)

\(y'\left(-4\right)=\dfrac{1}{3}\) ; \(y\left(-4\right)=3\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=\dfrac{1}{3}\left(x+4\right)+3\)

Đáp án A

Gọi M a ; b ∈ C  mà y ' = − 3 x 2 + 3 ⇒ y ' a = − 3 a 2 + 3  và b = y a = − a 3 + 3 a + 2  

Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y − a 3 + 3 a + 2 = − 3 a 2 + 3 x − a d  

Vì tiếp tuyến (d) đi qua A 3 ; 0  suy ra a 3 + 3 a + 2 = − 3 a 2 + 3 x − a ⇔ a = − 1 a = 11 ∓ 33 4  

Vậy có tất cả 3 tiếp tuyến đi qua điểm  A 3 ; 0